Прикладная теория вероятностей.

Прикладная теория вероятностей.

Не перестаю повторять, что если вы сколь-нибудь серьёзно планируете играть, если надеетесь начать выигрывать в казино, то вам необходимо знать хотя бы основу теории вероятности. Вот я и постараюсь ту самую теорию вероятности "приложить" к вопросам азартных игр. На самом деле, теорвер и игры очень тесно связаны. Например, слово "азарт" происходит от французского hazard — "случай", "риск", которое, вероятно восходит к арабскому "азар" — "кости". Собственно и наука-то сама возникла именно из вопросов азартной игры и именно игры в кости!

Считается, что кавалер де Мере написал письмо Блезу Паскалю, спрашивая, сколько раз надо бросить пару костей, чтобы вероятность хотя бы одного появления двух шестёрок была больше 1/2 (он считал, что достаточно 24 бросков). Паскаль ответил на этот вопрос, начал поднимать аналогичные вопросы в переписке с Ферма, и именно имена этих двух учёных обычно называют как основателей теории вероятности (примерно середина 17 века). Третий "отец-основатель" — Гюйгенс, который также отвечал на вопрос игроков: что выпадет чаще при бросании трёх костей — 11 или 12 очков. Конечно, отдельные вопросы теории вероятности поднимались и ранее, но основы стройной теории заложили именно эти известные учёные.

Итак, дадим определение теории вероятности — это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Продолжим… Случайное событие — событие, которое может при данных условиях как произойти так и не произойти и для которого имеется определённая вероятность р (от 0 до 1) его наступления. Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причем появление того или иного значения этой величины представляет собой случайное событие.

Раз уж история развития науки началась с костей, то и мы обратимся к этой игре, очень уж она для этого удобна. У нас есть кость (кубик) с шестью гранями с цифрами от 1 до 6 на каждой. Случайным событием будет, например, выпадение каждой из цифр, например, единицы. Если это нормальный, не "заряженный" кубик, то каждая из граней будет выпадать с одинаковой частотой, то есть один раз из шести. Вот эта 1/6 и есть вероятность наступления нашего случайного события (выпадения единицы). Вероятность обычно обозначается буквой р или Р. А случайной величиной при нашем опыте (бросание кости) будет как раз выпадение того или иного числа. Множество возможных значений при этом 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Так как других чисел выпасть не может (ну нет на кубике 7 или 8), то вот эти числа от 1 до 6 составят полную систему событий. Сумма вероятностей событий в полной системе составляет 1 (именно поэтому, если события равновероятны, то легко сосчитать вероятность каждого события как 1/кол-во событий). Так как при бросании кубика не может одновременно выпасть, скажем, 1 и 6 (да и любые другие два числа, случаи "встало на ребро" и "зависло в воздухе" не рассматриваем), то данные события будут несовместимы между собой.

Предлагаю вам первый закон теорвера, правило сложения: вероятность наступления в опыте какого-либо одного (всё равно которого именно) из результатов равна сумме вероятностей этих результатов, если каждые два из них несовместимы между собой (можно записать как как Р(А или В)=Р(А)+Р(В), где Р(А) — вероятность события А). Например, если вас интересует вероятность, что выпадет чётное число (то есть 2, 4 или 6), то мы должны сложить вероятности выпадения каждого из данных чисел, получим 1/6+1/6+1/6=1/2 или 50%. Выпадения нечётного числа (1,3 или 5) будет событием, противоположным выпадению чётного числа. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, то есть вероятность выпадения нечётного числа равно 1-1/2=1/2. Зачастую, вероятность события удобнее вычислить через вероятность противоположного события. Так вероятность что выпадет число меньше шести можно определить как вероятность, что НЕ выпадет шесть и посчитать как 1-1/6=5/6. Конечно, в случае костей и 1/6 сложить пять раз нетрудно, но во многих реальных задачах это будет сделать на порядок сложнее. Типичный пример — какова вероятность

Перейдём к понятию условной вероятности. Предположим, что у нас есть два кубика: один стандартный с числами от 1 до 6, а на втором — по два раза повторяются числа 1, 2 и 3. Если мы образом возьмём и бросим первый кубик, то 1 выпадет с вероятностью 1/6, а если второй — уже с вероятностью 1/3. А 6 выпадет с вероятностью 1/6 и 0 (событие, вероятность которого равна 0, называется невозможным, а 1 — достоверным), соответственно. Вероятность выкинуть на первой кости некоторое число, например 1 называется безусловной, так как от других событий не зависит, а вот вероятность выкинуть 1 на обоих кубиках одновременно уже будет условной (должно выполниться несколько условий одновременно — 1 и на первом и на втором кубике). Как нам определить эту вероятность? Нам поможет правило умножения вероятностей: Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило (Р(А и В)=Р(А)*РА(В), где РА(В) — вероятность события В при условии выполнении А). То есть в нашем примере с кубиками вероятность события А — выпадения 1 на первом кубике равна 1/6, вероятность выпадения 1 на втором кубике при условии, что 1 выпала и на первом — 1/3. Итого вероятность выпадения 1 на обоих кубиках равна 1/6*1/3=1/18.

На самом-то деле вероятность выпадения 1 на втором кубике равна 1/3 независимо от того, что именно выпадет на первом кубике. Таким образом, выпадение 1 на каждом из кубиков — независимые события. В этом случае правило умножения упрощается до Р(А и В)=Р(А)*Р(В) — вероятность совместного наступления любого числа взаимно независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Вероятность, что на двух обычных кубиках выпадет одновременно две шестёрки или единицы равна 1/6*1/6=1/36. А какова вероятность, что выпадет 4 и 3? Тоже 1/36? Нет! Для выпадения 6-6, 6 должна выпасть на кубике первом и 6 — на втором. А для 3-4 может быть 3 на первом и 4 на втором или 4 на первом и 3 на втором. Получается, мы должны найти две условные вероятности и затем из сложить, получим вероятность 1/18. Вооружённые этими знаниями вы можете уподобиться Гюйгенсу и ответить на заданный ему вопрос. Найдите все комбинации, дающие 11 и 12 очков (например, 11=1+5+5, 11=2+4+5 и т.д.), учтите возможность (или невозможность) выпадения комбинаций в разном порядке (то есть 1,5,5, или 5,1,5 или 5,5,1 — итого три возможных комбинации). Потом всё это перемножаете и складываете. Должны получить 25 комбинаций (каждая вероятностью по 1/6*1/6*1/6=1/216) для 12 и 27 — для 11. Ещё раз повторю — броски кубиков или выпадения чисел в рулетку — события независимые, вероятности всех из одинаковые, а вот выпадение карт из одной колоды — уже зависимые. Например, вероятность из колоды 52 карты вытянуть первого туза равна 4/52. А вероятность второго туза — уже 3/51 (так как осталось лишь 3 туза и 51 карта в колоде). В итоге вероятность вытащить двух тузов подряд — 4/52*3/51. А если бы первая карта была не тузом, то вероятность вытащить туза второй картой была бы 4/51, а общая вероятность ситуации — 48/52*4/51.

На самом деле, той теории, что дана выше, уже достаточно для расчёта большинства ситуаций в играх казино. В той же рулетке или костях этого более чем достаточно для вычисления различных вероятностей. Возьмём "любимый" пример рулеточников — 10 красных подряд и посчитаем его вероятность. Всего чисел 37, из них 18 красных, то есть вероятность выпадения красного 18/37. Вероятность двух красных подряд — уже 18/37*18/37, а 10 подряд — (18/37)^10=0,074% или 1 на 1347 (^ — возведение в степень). Если считать не просто один цвет, а цвет плюс зеро, что опасно для мартингельщиков, то получаем уже (19/37)^10=0,13% или 1 на 784. То есть в среднем за 1000 спинов (день игры) у вас ожидается выпадение серии из 10 подряд "не вашего" цвета. А если 10 подряд любого цвета (мы считали только одного), то вероятность увеличивается вдвое, ведь серия может быть как красная, так и чёрная. Давайте ещё посмотрим вероятность невыпадения дюжины 15 раз подряд. Не выпадение первой дюжины означает, что выпадают только вторая и третья дюжины, плюс зеро. Вероятность их выпадения — 1-12/37. Вероятность, что они выпадут 15 раз подряд — (25/37)^15=0,28% или 1 на 358 спинов. Опять же, если нас интересует невыпадению любой из дюжин, а не конкретно первой, то наш итог умножаем на три и приближаемся к 1 случаю на 100 спинов. Желающие могут посчитать и другие вероятности, типа выпадения числа три раза подряд или не выпадения числа на протяжении 100 спинов.

Ну и вернёмся к задаче кавалера де Мере. Мы знаем, что вероятность выпадения двух шестёрок — 1/36. Вероятность, что шестёрки не выпадут (противоположное событие) 1-1/36=35/56. Вероятность, шестёрки не выпадут ни разу на протяжении 24 бросков — (35/36)^24=50,8%. Соответственно, вероятность, что шестёрки выпадут хотя бы один раз, — событие противоположное с вероятностью 1-50,8%=49,2%. Как видим, предположение де Маре было ошибочным, вы вслед за Паскалем можете убедиться, что необходимо 25 бросков, чтобы вероятность выпадения 6-6 превысила 50%. Обратите внимание, что задачи на "событие произойдёт хотя бы один раз" решается оптимально через вероятность противоположных событий.

Ещё одна очень полезная функция — формула Бернулли, позволяющая оценить вероятность того, что при N испытаниях с вероятностью успеха p количество успехов будет равно n: P=p^n*(1-p)^(N-n)*N!/n!/(N-n)! Если вы используете Excel, то там есть функция БИНОМРАСП, которая позволяет быстро вычислять соответствующие вероятности. Вообще вот данная формула позволяет вычислять коэффициенты биномиального распределения. Эта формула наиболее актуальна для проверки "случайности" тех или иных событий. Например, за 100 спинов (N испытаний) выпало 5 зеро (n успехов), вероятность выпадения — 1/37 (вероятность успеха p). Подставляем в формулу или лучше используем БИНОМРАСП в Экселе (параметр "Интегральная" устанавливаем "ложь"), получим вероятность выпадения 5 зеро за 100 спинов равна 8%, что немало. Обратите внимание, это вероятность, что зеро выпадет ровно 5 раз! Но оно может выпасть 6 раз с вероятностью 3%, 7 раз — 1,3% и т.д. Если мы хотим узнать вероятность выпадения 5 или более раз, то мы должны суммировать эти вероятности или удобнее в Экселе сосчитать по формуле 1-БИНОМРАСП(4;100;1/37;ИСТИНА)=13,5% (противоположное событие вероятности, что зеро выпадет 4 или менее раз). Если вас интересует эта проблема, то рекомендую подробнее почитать статью "Критерии нечестного казино".

При решении различных задач прикладной теории вероятности вам также могут понадобиться основные формулы комбинаторики:

  • Перестановки — сколькими способами можно расположить по порядку имеющиеся n элементов: P=n! (надеюсь, вы знакомы с понятием факториала — это произведение всех натуральных числе от 1 до n. n!=1*2*3*…*(n-1)*n). Когда мы говорили о двух или трёх бросаниях кубика как раз нас интересовали перестановки для двух или трёх различных чисел. Фактически, мы умножали вероятность выпадения определённой комбинации на количество перестановок, для трёх кубиков имеем Р=3!=6 вариантов перестановок. Если у нас есть несколько (m) одинаковых элементов, то формула изменяется в P=n!/m! (когда из трёх кубиков два одинаковых как 1-5-5, то перестановок будет 3!/2!=3, а если все три кубика одинаковые, то перестановок 3!/3!=1).
  • Размещения — сколькими способами можно переставить m элементов из имеющегося массива в n: A=n!/(n-m)! Например, сколько различных чисел можно составить, используя лишь три цифры из десяти? 10!/(10-3)!=8*9*10=720 (число меньше тысячи, так как числа вроде 111 или 505 используют одну из цифр больше одного раза, для размещений с повторениями формула будет n^m, что и даст нам 1000 трёхзначных чисел). Формула размещения часто используется для определения возможных комбинаций в покере. Например, какова вероятность собрать роял флэш на пяти сданных картах? Всего пять карт из 52 в колоде можно сдать 52!/47!=311.875.200 способами (вот как раз используем формулу размещения). Роял флэш определённой масти можно собрать 5!=120 способами (количество перестановок пяти карт, которые входят в рояль). Так как масти всего 4, то вероятность собрать роял флэш будет равна 4*120/311.875.200=1/649740 или примерно каждую 650-тысячную сдачу.
  • Сочетания — сколькими способами можно из n элементов выбрать m элементов: C=n!/m!/(n-m)! Например, сколькими различными способами можно раздать две префлоп-карты в техасском холдеме? 52!/2!/50!=51*52/2=1326 способов, при этом 9♣8♠ и 8♠9♣ считаются за один способ, так как порядок нам не важен. Уже дальше каждую пару можно составить 4!/2!/2!=6 способами (количество сочетаний из четырёх по два), каждую непарную комбинацию — 4^2=16 способов (4 способа выбрать первую карту и 4 — вторую, перемножаем аналогично вероятностям), из них одномастную комбинацию — 4 способами (по количеству мастей) и каждую разномастную 16-4=12 способами.

Надеюсь, вы разберётесь с тем, что тут написано. Для практики можете потренироваться, посчитать вероятность выпадения различных комбинаций в костях и сик бо и сравнить их с выплатами; посчитать вероятность получить различные "серии" в рулетке; посчитать вероятность получить различные бонусные выплаты в разных версиях блэкджека, причём сравнить результаты для разного количества колод — 1, 2, 4, 8 и т.д. Ну и если знаете английский, то вам всегда поможет в ваших изысканиях сайт Wizard of Odds. Успехов в освоении математики и игре!

 

Автор: Корешков Юрий. Ваш покорный слуга, также автор большей части сайта «Казино Онлайн» ;).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.

Posted by: admin on